Vastused

1. detsembri ülesanne

Päkapikud Anne, Mari, Kati ja Ülle noppisid neli erinevat lille: gladiooli, karikakra, nelgi ja meelespea. Kui neilt küsiti, millise lille nad noppisid, siis vastas igaüks nii, et tema vastuses oli üks osa õige ja teine osa väär.

Vastused olid järgnevad

Kati noppis karikakra, Ülle nelgi.
Kati noppis gladiooli, Mari karikakra.
Anne noppis karikakra, Ülle meelespea.

Kes millise lille noppis?

Lahendus

Kuna igas vastuses nopib karikakra erinev inimene, siis kas kaks neist väidetest peavad olema valed ja üks õige või võivad kõik kolm olla valed?

Kui Kati noppis karikakra (1), siis Kati oleks pidanud noppima ka gladiooli (2).
Kui Mari noppis karikakra (2), siis Ülle noppis nelgi (1) ja Ülle oleks pidanud noppima ka meelespea (3).
Kui Anne noppis karikakra (3), siis Ülle noppis nelgi (1), Kati gladiooli (2) ja Mari noppis meelespea (-).
Kui Ülle noppis karikakra (-), siis Ülle oleks pidanud noppima ka nelgi (1) ja meelespea (3).

Ainus võimalik variant on, et Anne noppis karikakra, Ülle noppis nelgi, Kati gladiooli ja Mari meelespea.

Vastus:

Päkapikk Ülle noppis nelgi, Anne karikakra, Kati gladiooli ja Mari meelespea.

2. detsembri ülesanne

Nägin kord üht huvitavat viiekohalist arvu A. Kui ma talle numbri 1 ette kirjutasin, siis ma sain ma loomulikult kuuekohaline arvu [1][A]. Kirjutades aga numbri 1 selle lõppu, sain ma jälle kuuekohalise arvu [A][1], mis seejuures oli esimesest arvust kolm korda suurem.

Leidke arv A

Lahendus

Kui me viiekohalisele arvule [A] kirjutame ette numbri 1, siis me suurendame seda arvu 100 000 võrra. Nii et [1] [A] = A + 100 000. Kui me aga kirjutame numbril selle arvu [A] lõppu, siis me sellega korrutame A-d kümnega ja liidame ühe. Nii et [A] [1] = 10A + 1.

Ülesande tingimustest järeldub, et (10A + 1)/(A + 100 000)=3

Siit 10A + 1 = 3A + 300 000 ehk 7A = 299 999, A = 42 857.

Vastus:

Arv A on 42857

3. detsembri ülesanne

Päkariigi valitsus otsustas vähendada 1- ja 2- sendiste käitlemist võttes kasutusele ümardusreegli.

Nüüdsest kõik summad tuleb ümardada lähima 5 sendini. Ostusumma, mis lõpeb 1, 2, 6 või 7 sendiga, ümardatakse allapoole, ning summa, mis lõpeb 3, 4, 8 või 9 sendiga, ümardatakse ülespoole.

Päkapikk Juss peab ostma kaupa:

Ostutabel

Kaup	Kogus	Ühikuhind
Kohuke	11	40
Mandariinikott	2	231
Pakk komme	15	202
Pakk piparkooke	5	143
Helkur	5	184
Kõrremahl	6	135
Pakk pähkleid	10	439
Paar villaseid sokke	3	356

Jussil tuli idee, et ta saaks raha säästa kui ta teeb ühe ostu asemel mitu ostu.

Kui palju raha on Jussil võimalik maksimaalselt säästa kui ta ostab soovitud kauba sooritades mitu ostu?

Lahendus

Paneme tähele, et arve võib vaadata jäägiklassis (mod 5).
Tähistagu r funktsiooni, mis seab igale jäägiklassi elemendile vastavusse täisarvu, mis kirjeldab ümardamisest tulenevat hinnamuutust.

r(0) = 0
r(1) = -1
r(2) = -2
r(3) = +2
r(4) = +1

Arvud, mis kuuluvad jäägiklassi:

0 on ignoreeritavad;
1, 2 on tulusad;
3, 4 on kahjumlikud.

Me tahame teha pigem palju oste kui vähem oste, sest iga ostuga ümardub hind ülimalt -2 võrra.

Iga jäägiklassi elemendi a ja b korral võrdleme omavahel arve r(a + b) ja r(a) + r(b). Sellega saame analüüsida kas mõnele hüpoteetilisele ostukorvile, mille summa on a (mod 5), tasub juurde panna kaupa, mille summa on b (mod 5).

Paneme tähele, et liites jäägiklassi 1 või 2 kuuluva arvu mõnele teisele arvule, jääb hind samaks või suureneb. Seega võiks vastavad kaubad osta eraldi.

Vaatame nüüd järele jäänud jäägiklasse 3 ja 4. Paneme tähele, et jäägiklassi paarid (3,3) ja (3,4) vähendavad hinda 5 sendi võrra võrreldes sellega, et need oleksid eraldi. Samas paar (4,4) jätab hinna samaks. Lisades paarile (4,4) veel ühe nelja saame kolmiku (4,4,4), mis vähendab hinda 5 sendi võrra võrreldes sellega, et me ostame need eraldi.

Kuna need paarid ja kolmikud on ise jäägiklassides 1 või 2, siis ei tasu neile arve juurde lisada. Kuna me tahame hinda võimalikult palju langetada ja jäägiklassi 4 kuuluvaid arve on piiratud hulk, siis me tahame gruppide (4,4,4) (tarbivad kõige rohkem neljasid) asemel moodustada võimalikult palju gruppe kujul (4,3).
Kokku on kaupade hindade summa 11835, mis pärast ümardamist jääb samaks.

Jäägiklassidele vastav tabel

Kogus	Ühikuhinna jäägiklass (mod 5)
17	0
5	1
15	2
5	3
15	4

Arvutused

Esiteks jäägiklassidest 1 ja 2 saame, et hind muutub 5 × (-1) + 15 × (-2) = -35 sendi võrra.

Jäägiklassidest 3 ja 4 me saame luua 5 paari {3, 4}, 3 kolmikut {4, 4, 4} ja järele jääb 1 {4}.Seega hind muutub lisaks veel 5×(-2) + 3×(-2) + 1 = -15 sendi võrra.

Pärast ligikaudu 28 ostu saab Juss säästa 35 + 15 = 50 senti.

Vastus:

Jussil on võimalik maksimaalselt säästa 50 senti.

4. detsembri ülesanne

Numbritest 1, 2, 3, 4, 5 saab moodustada 5!=120 erinevat viiekohalist arvu, mis kõik koosnevad erinevatest numbritest.

Leia kõigi nende sajakahekümne arvu summa.

Lahendus

Kui kirjutada kõik need arvud üksteise alla, siis esineb iga number veerus 120 : 5 = 24 korda. Iga veeru summa tuleb seega 24 • (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360 ja kõikide arvude summa on järelikult 11111 • 360 = 3 999 960.

Vastus:

Nende arvude summa on 3 999 960.

5. detsembri ülesanne

Jõulumaal on viis linna, millest ükski kolm ei paikne ühel sirgel. Need linnad soovitakse ühendada neljast sirglõigust koosneva raudtee võrguga (liinid võib tarbe korral viaduktide abil lõikuma panna).

Kui mitmel erineval viisil saab sellist raudteevõrku Jõulumaal ehitada?

Lahendus

Raudteevõrgu põhimõtteliselt erinevaid struktuure leidub kokku ainult kolm. Esimesel (vasakpoolsel) juhul neist võib sõlmjaamaks valida igaühe viiest linnast, seega saame siit viis erinevat võrku.

Teisel juhul saab samuti igaühe viiest linnast valida sõlmjaamaks, temaga ühendatud kolm jaama saab valida neljal viisil ja viimase linna võib ühendada igaühega nendest kolmest. Seega teine juht annab kokku 5 • 4 • 3 = 60 erinevat võrku.

Kolmandal juhul määrab linnade iga permutatsioon ühe võrgu, kuid vastand permutatsioonid (näiteks 15324 ja 42351) annavad sealjuures sama võrgu. Kokku saame kolmandal juhul seega 5! : 2 = 60 erinevat võrku.

Leitud tulemusi liites näeme, et vaadeldavat raudteevõrgu saab ehitada saja kahekümne viiel erineval viisil.

Vastus:

Jõulumaal saab sellist raudteed ehitada 125 erineval viisil.

6. detsembri ülesanne

Põhjanaba kõige kuulsamal Jõuluvana nimelisel kiirteel alustasid kaks põhjapõtra läheneva jõuluaja ootuses kiirteel treeningut ja hakkasid üksteisele vastu kappama.

Sel hetkel, kui põtru lahutas veel kõigest 300 km, hakkas nende treeningu vastu huvi tundma üks põhjamaine linnuke.

Olles startinud ühe põhjapõdra seljalt, hakkas ta teisele vastu lendama. Jõudnud vastutuleva põhjapõdrani ja veendunud, et kõik on korras, pöördus ta otsekohe tagasi.

Lind lendas selle põhjapõdrani, kelle pealt ta startis ja siis pööras jälle tagasi teise juurde. Nii ta lendas teineteisele lähenevate põhjapõtrade vahel kuni põtrade kohtumiseni.

Lind lendas põhjapõtrade vahel kiirusega 100 km tunnis, põdrad aga sörkisid kogu aeg kiirusega 50 km tunnis.

Mitu kilomeetrit lind lendas?

Lahendus

Põdrad liikusid üksteise suunas kokku 100 km/h. Lind lendas samal ajal kiirusega 100 km/h nii, et läbis täpselt sama pika distantsi kui põdrad kokku, 300 km.

Vastus:

Lind lendas peatumatult täpselt 3 tundi läbides seejuures 300 km.

7. detsembri ülesanne

Põrandale on asetatud kolm jõulukuuli (kerad) võrdsete raadiustega \(r\), nii et need puudutavad üksteist.

Nendele toetub neljas jõulukuul (kera), mille madalaim punkt asub põrandast kõrgusel\[\frac{3}{2}r.\]

Kui suur on neljanda kera raadius?

Lahendus

Tähistame neljanda kera raadiuse tähega \(x\). Suuruste \(x\) ja \(r\) vahelise seose leidmiseks vaatleme korrapärast püramiidi \(O_1O_2O_3O\), kus \(O_1, O_2, O_3\) on põrandal paiknevate kerade keskpunktid ning \(O\) on neljanda kera keskpunkt. Püramiidi põhiservad on pikkusega \(2r\) ja külgservad pikkusega \(x + r\).

Neljanda kera madalaim punkt \(Q\) (kaugusega \(OQ = x\)) asub püramiidi kõrgusel \[ OP = x + \frac{1}{2}r, \] kuna põrandal olevate kerade keskpunktid asuvad kõrgusel \(\frac{1}{2}r\).

Kolmnurgas \(O_1OP\) kehtib \[ O_1P = \frac{2r\sqrt{3}}{3}. \]

Rakendades Pythagorase teoreemi kolmnurgale \(O_1OP\): \[ (r + x)^2 = \left( \frac{2r\sqrt{3}}{3} \right)^2 + \left( x + \frac{1}{2}r \right)^2. \] Lahendades selle võrrandi \(x\)-i suhtes, saame \[ x = \frac{7}{12}r. \]

Vastus:

Neljanda kera raaadius on \[ \frac{7}{12}r.\]

8. detsembri ülesanne

Jõulumemm viis kord turule korvitäie mune. Teel tõukas teda üks möödamineja kogemata nii tugevasti, et korv kukkus maha ja munad purunesid.

Süüdlane tahtis munade hinna tasuda ja küsis: «Mitu muna siin korvis oli?» «Ma täpselt ei mäleta,» vastas memm, «kuid ma tean, et kui ma oleks võtnud korvist mune kahe-, kolme-, nelja-, viie-või kuue kaupa, siis oleks jäänud igakord korvi üks muna üle.

Kui ma aga oleksin võtnud korvist mune seitsme kaupa, siis ei oleks jäänud sinna ühtegi muna.»

Mitu muna olid jõulumemmel korvis?

Lahendus

Arvude 2, 3, 4, 5 ja 6 vähim ühiskordne on \(60\). Meil tuleb leida seitsmega jaguv arv, mis on ühe võrra suurem kuuekümnega jaguvast arvust. Paneme tähele, et

\[60n + 1 = 7 \cdot 8n + 4n + 1.\]

Arv \(60n + 1\) jagub seitsmega siis ja ainult siis, kui ka \(4n + 1\) jagub seitsmega. Vähim sobiv väärtus on \(n = 5\).

Seega võis korvis olla\[60 \cdot 5 + 1 = 301\]muna.

Järgmise sobiva väärtuse korral, \(n = 12\), saaksime\[60 \cdot 12 + 1 = 721,\] kuid see arv ei sobi, sest niisugust raskust naine ei oleks jõudnud kanda. Samal põhjusel ei sobi ka kõik järgmised suuremad väärtused.

Seega oli korvis arvatavasti \(301\) muna.

Vastus:

Tõenäoliselt oli naisel korvis 301 muna.

9. detsembri ülesanne

Kaks põhjapõdrasaani põrkasid kokku. Ühe avariis osalenud saani juht põgenes koos oma põdrarakendiga. Liiklusinspektor-päkapiku küsitletud tunnistajatest ei olnud keegi täpselt näinud põgenenud saani Jõuluvanamaa riiklikku numbrimärki.

Üks tunnistaja väitis, et neljast numbrist kaks esimest olid ühesugused.

Teine tunnistaja ütles, et ta nägi ainult kaht viimast numbrit ning võib kindlalt öelda, et need olid ühesugused.

Kolmas tunnistaja väitis, et saani number oli ruutarv.

Nende kolme ütluse põhjal tehti sündmuskohalt põgenenud põhjapõdraasaani number kindlaks.

Milline see oli?

Lahendus

Esimese ja teise tunnistaja ütluse põhjal oli sõiduauto number kujuga aabb, kus 0 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 ning a ja b ei ole korraga nullid. Sellise kujuga arv jagub 11-ga.

Kolmanda tunnistaja ütluse põhjal on arv aabb ruutarv, järelikult peab ta jaguma arvuga 11² = 121. Seega a ei saa olla 0 ning 1100 ≤ aabb ≤ 9999.

Lisaks sellele aabb = c • 121, kus kolmanda tunnistaja ütluse põhjal c peab olema ruutarv: c = n².

Et 1100 : 121 > 9 ning 9999 : 121 < 84, siis 9 < c < 84 ja 3 < n < 9.

Naturaalarv n on kas 4, 5, 6, 7, 8 või 9 ning c on kas 16, 25, 36, 49, 64 või 81.

Arvutanud korrutised c • 121, näeme, et ainult c = 64 korral on neljakohaline naturaalarv kujuga aabb.

Otsitav saaninumber on seega 7744.

Vastus:

Sündmuskohalt põgenenud põhjapõdrasaani number on 7744

10.detsembri ülesanne

Päkapikkude töökojas oli tahvlile kirjutatud arvud 1, 2, 3, 4, 5 ja 6.

Igal sammul kustutab Päkapikk Pelle omal valikul mingid kaks tahvlil olevat arvu a ja b ning kirjutab asemele ühe arvu ab + a + b.

Nii toimib ta seni, kuni tahvlile jääb ainult üks arv.

Milline arv jääb lõpuks tahvlile?

Lahendus

Paneme tähele, et (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1.

See tähendab, et kui me asendame tahvlil kõik arvud 1 võrra suurematega, muutub Pelle tehtav operatsioon lihtsalt kahe arvu asendamiseks nende korrutisega.

Millises järjekorras Pelle neid tehteid ka ei sooritaks, jääks sel juhul lõpuks tahvlile arv 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

Algses versioonis jääb seega igal juhul lõpuks tahvlile 1 võrra väiksem arv 5039.

Vastus:

Lõpuks jääb tahvlile arv 5039.

11. detsembri ülesanne

Vahetult enne noorpäkapikkude koolitust käsib Jõuluvana päkapikkudel rivistuda nii, et mitte kellelgi poleks mõlemal pool temast lühemat päkapikku. Noorpäkapikkude koolitusel on 13 päkapikku, iga kaks päkapikku on erineva pikkusega.

Leia erinevate võimaluste arv päkapikkudel jõuluvana käsk täita.

Lahendus

Jõuluvana korralduse järgi rivistumine tähendab, et kõige lühemast päkapikust mõlemale poole vaadates peavad päkapikud seisma pikkuse kasvamise järjekorras.

Niisis on päkapikkude järjestus määratud nende päkapikkude alamhulgaga, kes seisavad kõige lühemast päkapikust vasakul (sest ülejäänud peavad seisma paremal ning antud alamhulga järjestamiseks on täpselt üks võimalus).

Kuna peale kõige lühema päkapiku on koolitusel veel 12 päkapikku, on rivistamiseks võimalusi kokku sama palju kui 12-elemendilisel hulgal alamhulki, st 2¹² = 4096 tükki.

Vastus:

Päkapikkudel on rivistumiseks 4096 võimalust.

12. detsembri ülesanne

Viis päkapikkude treeninglaagris puhkavat sõpra- Malle, Pelle, Palle, Ville ja Volle läksid lõkkesüütamise võistluse tarbeks metsa alla kuusekäbisid korjama.

Pärast mõningast otsimist oli vaja laagrisse tagasi minema hakata, aga poiste kottides haigutas tühjus. Malle kotis oli aga 45 käbi.

«Poisid, teil on tühjade pihkudega ju näotu laagrisse minna,» haletses Malle päkapikupoisse ja puistas kõik oma kogutud käbid poiste kottidesse.

Tagasiteel leidis Pelle veel kaks käbi, Ville aga isegi kahekordistas oma kotis olnud käbide hulka.

Palle ja Volle hullasid kogu tee ja kaotasid osa oma käbidest ära. Pallel pudenes korvist kaks käbi, Vollel aga koguni pool sellest, mis ta Malle käest sai.

Kõige hämmastavam oli aga see, et kui laagris hakati käbisid üle lugema, siis selgus, et kõigil poistel oli neid ühepalju.

Kui käbikorjajad oma seiklustest pajatasid, siis tärkas nii mõnelgi matemaatikahuvilisel päkapikul küsimus, et mitu käbi siis iga poiss Malle käest sai?

Lahendus

Oletame, et iga poiss viis laagrisse x käbi. Ülesande tingimustest järeldub, et:

Malle andis Pellele x − 2 käbi,
Pallele x + 2 käbi,
Villele x / 2 käbi,
Vollele 2x käbi.

Seega kokku: (x − 2) + (x + 2) + x / 2 + 2x = 4 1/2 x.

Vastavalt ülesande tingimustele:
4 1/2 x = 45

Siit järeldub, et x = 10.

Vastus:

Malle andis Pellele 8 käbi, Pallele 12 käbi, Villele 5 käbi ja Vollele 20 käbi.

13. detsembri ülesanne

Siit ta nüüd tulebki- tänase päeva kõige kuumem Jõulumaa ülesanne!

Kirjuta allpool oleva joonise ringidesse numbrid 1, 2, ....., 8 nii, et järjestikuseid numbreid sisaldavad ringid ei oleks sirglõiguga ühendatud (näiteks kui ringi A kirjutada number 7, siis ringides B, C ja D ei tohi olla ei 6 ega 8).

Vastuseks kirjuta numbrid alustades tähest B ja liikudes igas reas vasakult paremale

Lahendus

Vastus:

Õigeks loeme järgnevad järjestused: 46718235; 64281753; 35718246; 53281764

14. detsembri ülesanne

Jõulumemm küpsetas jõulukoogi ja lõikas selle 3 x 3 võrdseks ruudukujuliseks tükiks.

Päkapikupoisid Ants ja Juhan mängivad järgmist mängu.

Kumbki mängija sööb oma käigul ära kaks kõrvuti asuvat (st ühise küljega) jõulukoogi tükki.
Käike tehakse vaheldumisi, alustab Ants.

Kaotab see, kes enam käia ei saa.

Kes võidab mängu, kui mõlemad päkapikud annavad endast parima?

Lahendus

Kuna mängu käigus jõulukoogi tükkide arv rangelt väheneb, on mäng lõplik. Iga päkapikk Antsu avakäigu peale saab Juhan teha niisuguse käigu, et selle tulemusena on ühest nurgast söödud 2 × 2 tükk.

Vastus:

Selle mängu võidab Juhan.