Karakteristlikud funktsioonid

Kompleksfunktsioonid

Olgu (S, Σ, μ) mõõdu ruum, f : S → C kompleksväärtuseline funktsioon (kompleksfunktsioon). Funktsiooni f võib alati esitada kujul f = g + ih, kus g, h : S → ℜ on reaalväärtuselised funktsioonid. Ütleme, et kompleksfunktsioon f on Σ-mõõtuv, kui funktsioonid g, h on Σ-mõõtuvad. Sellisel juhul defineerime kompleksfunktsiooni f Lebesgue’i integraali järgmiselt:

∫ fdμ = ∫ (g + ih)dμ := ∫ gdμ + i ∫ hdμ.

Seega f on integreeruv, kui funktsioonid h ja g on integreeruvad. Seosest max{|g|, |h|} ≤ |f| ≤ |g| + |h| on aga kerge näha, et funktsioonid g ja h on integreeruvad parajasti siis, kui (mittenegatiivne ja mõõtuv) funktsioon |f| on integreeruv, st ∫ |f|dμ < ∞.

Üldiselt on kompleksfunktsiooni integraalil samasugused omadused mis reaalfunktsiooni integraalil:

* ∫ (αf + βg)dμ = α ∫ fdμ + β ∫ gdμ, kui α, β ∈ C (miks?)

* | ∫ fdμ| ≤ ∫ |f|dμ (vt Billingsley lk. 219)
* ∫ fdμ = 0 ⇔ f = 0 p.k. (miks?).

Ka kehtib kompleksfunktsiooni integraalide korral domineeritud koondumise teoreem. Tihti kasutame (komplekset) domineeritud koondumise teoreemi kujul:

DOM. Olgu f_{h} : S → C, h ∈ ℜ kompleksmuutuja funktsioonide pere, kusjuures iga s ∈ S korral f_{h}(s) → f_{0}(s), kui h → 0. Kui leidub g : S → C nii, et iga h ∈ ℜ ja iga s ∈ S korral |f_{h}(s)| ≤ |g(s)| ja ∫ |g|dμ < ∞, siis

lim_{h→0} ∫ f_{h}(s)μ(ds) = ∫ lim_{h→0} f_{h}(s)μ(ds) = ∫ f_{0}(s)μ(ds).

Teoreem järeldub harilikust (reaalsest) domineeritud koondumise teoreemist, kui seda eraldi rakendada f_{h} reaal- ja imaginaarosaale.

Funktsiooni f : C → C nimetatakse kompleksmuutuja funktsiooniks. Analüütilise (astmeritta arendatava) funktsiooni laiend kompleksatasandile defineeritakse Taylori reaksarenduse kaudu. Seega kompleksne astmefunktsioon exp : C → C defineeritakse e^{z} := ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} . Erijuhul, kui z = ix, saame

e^{ix} := 1 + (ix) + \frac{(ix)^{2}}{2!} + \frac{(ix)^{3}}{3!} + · · · .  (1)

Vastavalt Euleri valemile kehtib seos

e^{ix} = cos x + i sin x.

Funktsioonid cos x ja sin x on pidevad ja seetõttu Boreli mõõtuvad. Seega ka kompleksfunktsioon e^{ix} on mõõtuv. Seosest |e^{ix}| = \sqrt{cos^{2} x + sin^{2} x} = 1 järeldub, et iga reaalteljel antud tõenäosusmõõdu P korral ∫ |e^{ix}|P (dx) = 1 ehk kompleksfunktsioon f(x) = e^{ix} on integreeruv.

Karakteristlikud funktsioonid

Olgu X ∼ P tõenäosusruumil (Ω, F, P) antud juhuslik suurus, t ∈ ℜ. Vaatleme kompleksfunktsiooni e^{itX} : Ω → C. Euleri valemi tõttu e^{itX} = cos tX +i sin tX, mistõttu vaadeldav funktsioon on mõõtuv ja integreeruv.

Def. Juhusliku suuruse X (jaotuse P) karakteristlikuks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni

φ : ℜ → C, φ(t) = E(e^{itX}) = E(cos tX) + iE(sin tX).

Juhul, kui on tarvis näidata ka juhuslikku suurust, kasutatakse tähistust φ_{X}.

Lebesgue’i integraali muutuja vahetuse kohaselt

φ(t) = ∫ cos txP (dx) + i ∫ sin txP (dx) = ∫ e^{itx}P (dx).

Nagu iga keskväärtus, sõltub ka karakteristlik funktsioon vaid juhusliku suuruse X jaotusest.

Karakteristlik funktsioon on momente genereeriva funktsiooni analoog imaginaarteljel, erinevalt momente genereerivast funktsioonist on aga karakteristlik funktsioon lõplik (defineeritud) iga t ∈ ℜ korral. Matemaatilises analüüsis nimetatakse karakteristlikku funktsiooni ka Fourier’ teisenduseks.

Karakteristlikud funktsioonid on väga kasulik abivahend tõenäosusteoreetiliste probleemide lahendamisel; eelkõige põhineb nende kasulikkus järgmistel omadustel:

* sõltumatute juhuslike suuruste summa karakteristlik funktsioon on liidetavate karakteristlike funktsioonide korrutis;

* karakteristlikud funktsioonid on üksüheses vastavuses jaotustega;

* karakteristlike funktsioonide punktiviisilisest koondumisest järeldub vastavate jaotuste nõrk koondumine.

Elementaarsed omadused

1) φ(0) = 1

2) |φ(t)| ≤ 1

3) φ on ühtlaselt pidev

4) φ_{X}(−t) = \overline{φ}(t) ∀t ∈ ℜ

5) kui a, b ∈ ℜ, siis φ_{aX+b}(t) = e^{itb}φ_{X}(at) ∀t ∈ ℜ

Tõestus. Omadused 1) ja 2) on triviaalsed.

3) Iga t, h ∈ ℜ korral (vt kompleksfunktsiooni integreerimine)

\begin{matrix}|φ(t + h) − φ(t)| = | ∫ (e^{(t+h)ix} − e^{tix})P (dx)| ≤ ∫ |e^{(t+h)ix} − e^{tix}|P (dx) = \\ ∫ |e^{tix}(e^{ihx} − 1)|P (dx) = ∫ |e^{ihx} − 1|P (dx) =: ψ(h). \end{matrix}

Kui h → 0, siis f_{h}(x) := |e^{ihx} − 1| → 0. Et |f_{h}(x)| ≤ |e^{ihx}| + 1 = 2, siis tõkestatud koondumise teoreemi põhjal integraal ψ(h) = ∫ f_{h}dP → 0 protsessis h → 0. Seega φ on pidev; et aga ψ(h) ei sõltu t-st, on φ ühtlaselt pidev.

4) φ(−t) = ∫ cos(−tx)P (dx)+i ∫ sin(−tx)P (dx) = ∫ cos txP (dx)−i ∫ sin txP (dx) = \overline{φ}(t).

5) φ_{aX+b}(t) = E(e^{it(aX+b)}) = e^{itb}E(e^{iatX}) = e^{itb}φ(at).

Karakteristlik funktsioon ja momendid

Teame, et teatud juhtudel avalduvad juhusliku suuruse (jaotuse) kõik momendid momente genereeriva funktsiooni tuletiste kaudu. Järgnevalt näeme, et kui juhuslikul suurusel X on n-järku lõplik moment (X ∈ L_{n}), siis tema karakteristlikul funktsioonil on n-järku tuletis, kusjuures n-järku moment avaldub karakteristliku funktsiooni n-järku tuletise kaudu.

Teeme ühe kasuliku tähelepaneku. Euleri valemi abil on kerge veenduda, et iga x < y ∈ ℜ korral kehtib ∫_{x}^{y} ie^{it}dt = e^{iy} − e^{ix}, millest

|e^{iy} − e^{ix}| = | ∫_{x}^{y} ie^{it}dt| ≤ ∫_{x}^{y} |ie^{it}|dt = y − x.

Erijuhul saame

|e^{ix} − 1| ≤ |x|.  (2)

Lemma 13.1. Olgu X ∈ L_{n}(Ω, F, P), n ≥ 1, X ∼ P. Siis iga k ≤ n korral leidub tuletis φ^{(k)}, kusjuures

φ^{(k)}(t) = E[(iX)^{k}e^{itX}] = ∫ (ix)^{k}e^{itx}P (dx).  (3)

Tõestus. Olgu X ∈ L_{n}(Ω, F, P), n ≥ 1.

Definitsioonist saame

\frac{φ(t + h) − φ(t)}{h} = ∫ e^{itx}(\frac{e^{ihx} − 1}{h})P (dx).

Näitame 1) funktsioonid f_{h}(x) := e^{itx}(\frac{e^{ihx}−1}{h}) on domimeeritud integreeruva funktsiooniga;

2) f_{h}(x) → ixe^{itx}, kui h → 0.

Domineeritus järeldub hinnangust (2):

|f_{h}(x)| = |e^{itx}(\frac{e^{ihx} − 1}{h})| = |\frac{e^{ihx} − 1}{h}| ≤ |x|.

Vastavalt eeldusele E|X| = ∫ |x|P (dx) < ∞ (miks?). Euleri valemit kasutades on kerge veenduda, et \frac{d}{dt}e^{it} = ie^{it}, millest lim_{h→0} f_{h}(x) = e^{itx}xi. Seega võime kasutada domineeritud koondumise teoreemi:

lim_{h→0} ∫ f_{h}(x)P (dx) = ∫ lim_{h→0} f_{h}(x)P (dx),

millest

φ′(t) = lim_{h→0} \frac{φ(t + h) − φ(t)}{h} = lim_{h→0} ∫ f_{h}(x)P (dx) = ∫ e^{itx}(xi)P (dx).

Seega juhul, kui k = 1, valem (3) kehtib. Edasi kasutame induktsiooni. Oletame, et k < n ja valem (3) kehtib. Tõestame, et see kehtib ka k + 1 korral. Tõepoolest,

\frac{φ^{(k)}(t + h) − φ^{(k)}(t)}{h} = ∫ (ix)^{k}e^{itx}(\frac{e^{ihx} − 1}{h})P (dx) = ∫ (ix)^{k}f_{h}(x)P (dx).

Iga h korral

|(ix)^{k}f_{h}(x)| ≤ |x|^{k}|f_{h}(x)| ≤ |x|^{k+1}

ja ∫ |x|^{k+1}P (dx) < ∞ (miks?). Kui h → 0, siis (ix)^{k}f_{h}(x) → (ix)^{k+1}e^{itx}. Nüüd kasutame jälle domineeritud koondumise teoreemi, millest saame

φ^{(k+1)}(t) = lim_{h→0} ∫ (ix)^{k}f_{h}(x)P (dx) = ∫ (ix)^{k+1} lim_{h→0} f_{h}(x)P (dx) = ∫ (ix)^{k+1}e^{itx}P (dx).

Lemma on tõestatud.

Kokkuvõtteks: juhusliku suuruse lõpliku n-järku momendi korral võib selle leida tema karakteristliku funktsiooni n-järku tuletisest järgneva seose abil

EX^{n} = ∫ x^{n}P (dx) = \frac{φ^{(n)}(0)}{i^{n}}.  (4)

Tõestuseta märgime, et vastupidine väide kehtib vaid paarisarvulise n-korral: kui karakteristlikul funktsioonil φ on punktis 0 2n-järku tuletis, siis mõõdul P on lõplik 2n-järku moment.

Järeldus 13.1. Olgu X ∈ L_{n}(Ω, F, P), n ≥ 1, X ∼ P. Siis punkti 0 ümbruses kehtib järgmine valem

φ(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{EX^{k}}{k!} (it)^{k} + o(|t|^{n}).  (5)

Tõestus. Lemmast 13.1 teame, et karakteristlikul funktsioonil φ eksisteerivad kuni n-järku tuletised. Kompleksmuutujate funktsioonide teooriast on teada, et Taylori valem kehtib ka kompleksmuutuja funktsioonide korral. Seega

φ(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{φ^{(k)}(0)}{k!}t^{k} + o(|t|^{n}).

Seose (4) tõttu φ^{(k)}(0) = i^{k}EX^{k}, millest järeldub (5).

Sõltumatute juhuslike suuruste summa karakteristlik funktsioon

Olgu X_{1} ja X_{2} sõltumatud. Olgu t ∈ ℜ suvaline ja tähistame Y_{j} = cos tX_{j} ja Z_{j} := sin tX_{j}, kus j = 1, 2. On selge, et juhuslikud suurused Y_{i} ja Z_{j} on sõltumatud, kui i ≠ j. Leiame φ_{X_{1}+X_{2}}.

φ_{X_{1}+X_{2}}(t) = E[e^{it(X_{1}+X_{2})}] = E[e^{itX_{1}}e^{itX_{2}}] =
E[(Y_{1} + iZ_{1})(Y_{2} + iZ_{2})] = E[(Y_{1}Y_{2} − Z_{1}Z_{2} + i(Z_{1}Y_{2} + Y_{1}Z_{2})] =
E(Y_{1})E(Y_{2}) − E(Z_{1})E(Z_{2}) + i[E(Z_{1})E(Y_{2}) + E(Y_{1})E(Z_{2})] =
[E(Y_{1}) + iE(Z_{1})] + [E(Y_{2}) + iE(Z_{2})] = E[e^{itX_{1}}]E[e^{itX_{2}}] = φ_{X_{1}}(t)φ_{X_{2}}(t).

Seega φ_{X_{1}+X_{2}} = φ_{X_{1}}φ_{X_{2}}.

Juhul, kui X_{1}, …, X_{k} on sõltumatud, saame analoogiliselt

φ_{X_{1}+···+X_{k}} = φ_{X_{1}} ⋯ φ_{X_{k}}.

Ühesus

Alljärgnevas näeme, et tõenäosusmõõtude ja nende karakteristlike funktsioonide vahel on üksühene vastavus – erinevate jaotuste karakteristlikud funktsioonid on erinevad. See asjaolu põhineb järgmisel fundamentaalsel teoreemil, mis näitab kuidas jaotusfunktsiooni saab konstrueerida karakteristliku funktsiooni järgi.

Teoreem 13.1 (Levy’ pöördvalem). Olgu φ tõenäosusmõõdu P karakteristlik funktsioon. Kui a < b ∈ ℜ on sellised, et P {a} = P {b} = 0, siis

P (a, b] = lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} \frac{e^{−ita} − e^{−itb}}{it} φ(t)dt.  (6)

Teoreemi tõestuse võib leida: Billingsley, lk. 346, Ŝirjajev osa II 12, Williams 16.6. Märkus 1. Karakteristlik funktsioon φ on pidev, samuti on pidev funktsioon e^{ix}. Seega on valemis (6) olev integraalialune (kompleks)funktsioon pidev (tema reaal-ja imaginaarosa on pidevad). Kinnises lõigus [−T, T] pidev funktsioon on Riemanni mõttes integreeruv. Seega on integraali (6) Riemanni integraal (reaal-ja imaginaarosa on integraalid on mõlemad Riemanni integraalid). Sellest ka vastav tähustus. Märkus 2. Lõigus pidev funktsioon on alati tõkestatud. Veendume, et integraalialune funktsioon on tervel reaalteljel tõkestatud. Selleks kasutame hinnangut (2) ja karakteristlikke funktsioonide omadust 2. Iga t ∈ ℜ korral saame

|\frac{e^{−ita} − e^{−itb}}{it} φ(t)| ≤ |\frac{e^{−ita} − e^{−itb}}{it} | = \frac{|e^{−itb}(e^{−ita+itb} − 1)|}{|t|} = \frac{|e^{it(b−a)} − 1|}{|t|} ≤ |a − b|.

(7)

Tõkestatusest aga ei järeldu, et valemis (6) olev integraal eksisteeriks ka üle kogu reaaltelje (T = ∞). Erijuhul (sõltuvalt φ-st) võib see küll nii olla (vt järeldus 13.3). Sellisel juhul ühtib vaadeldav piirväärtus integraaliga üle reaaltelje.

Märkus 3. Kui F on mõõdu P jaotusfunktsioon, saame

F (b) − F (a) = lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} \frac{e^{−ita} − e^{−itb}}{it} φ(t)dt.

Levy’ pöördvalemist järeldub kergesti jaotuste ja karakteristlike funktsioonide vaheline üksühene vastavus.

Järeldus 13.2. Olgu P ja Q ruumil (ℜ, B) antud sellised tõenäosusmõõdud, et φ_{P} = φ_{Q}. Siis P = Q.

Tõestus. Olgu T_{P} = {x ∈ ℜ|P {x} = 0}. Seega on T_{P} mõõdu P jaotusfunktsiooni pidevuspunktide hulk. See hulk on reaalteljel kõikjal tihe (miks?). Analoogiliselt defineerime hulga T_{Q}. Loomulikult on ka hulk T_{P} ∩ T_{Q} kõikjal tihe. See aga tähendab, et π-süsteem π := {(a, b]|a, b ∈ T_{P} ∩ T_{Q}} tekitab Boreli σ-algebra B (miks?). Et φ_{P} = φ_{Q}, siis (6) põhjal P (a, b] = Q(a, b] ∀(a, b] ∈ π. Teoreemist 2.1 järeldub nüüd, et P = Q.

Juhul, kui φ on integreeruv, on (üle reaaltelje) integreeruv ka valemis (6) olev integraalialune funktsioon. Järgnevalt näeme, et sellisel juhul on mõõdul P pidev tihedusfunktsioon, mis avaldub üheselt karakteristliku funktsiooni kaudu.

Järeldus 13.3. Olgu φ mõõdu P karakteristlik funktsioon. Kui ∫_{−∞}^{∞} |φ(t)|dt < ∞, siis mõõdul P on pidev tihedusfunktsioon f, mis avaldub karakteristliku funktsiooni kaudu järgmiselt

f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx}φ(t)dt, x ∈ ℜ.  (8)

Tõestus. Olgu φ ∈ L_{1}. Veendume, et sellisel juhul pole mõõdul P aatomeid (T_{P} = ℜ). Olgu x ∈ ℜ suvaline. Valime jada a_{n} ja b_{n} nii, et a_{n} < x < b_{n}, a_{n} ↗ x, b_{n} ↘ x, P {a_{n}} = P {b_{n}} = 0 (sellised jadad leiduvad, sest T_{P} on kõikjal tihe). Seosest (6) ja hinnangust (7) saame ∀n korral

P \{x\} ≤ P (a_{n}, b_{n}] = lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} \frac{e^{−ita_{n}} − e^{−itb_{n}}}{it} φ(t)dt

≤ lim_{T →∞} \frac{1}{2π} ∫_{−T}^{T} |\frac{e^{−ita_{n}} − e^{−itb_{n}}}{it} φ(t)|dt

≤ \frac{b_{n} − a_{n}}{2π} lim_{T →∞} ∫_{−T}^{T} |φ(t)|dt = \frac{b_{n} − a_{n}}{2π} ∫_{−∞}^{∞} |φ(t)|dt.

Et b_{n} − a_{n} → 0, siis P {x} = 0. Järelikult, iga x, h ∈ ℜ korral kehtib (6); et integraalialune funktsioon on (üle reaaltelje) integreeruv, saame

\frac{F (x + h) − F (x)}{h} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−itx} − e^{−it(x+h)}}{ith} φ(t)dt.

Kui h → 0, siis ∀x ∈ ℜ korral

\frac{e^{−itx} − e^{−it(x+h)}}{ith} → −\frac{1}{it} \frac{d}{dx}e^{−itx} = e^{−itx}.

Domineeritud koondumise teoreemist saame seega (milline on domineeriv funktsioon?)

F′(x) = lim_{h→0} \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−itx} − e^{−it(x+h)}}{ith} φ(t)dt = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx}φ(t)dt.

Tähistame f := F′. Funktsiooni f pidevus tõestatakse analoogiliselt karakteristliku funktsiooni pidevusega (omadus 3). Lõpuks kasutame asjaolu, et kui jaotusfunktsioonil on PIDEV tuletis, siis see on tema tihedusfunktsioon. Teoreem on tõestatud.

Märkus. Nägime, et kui φ ∈ L_{1}, siis on mõõdul P pidev tihedus f, kusjuures kehtivad duaalsed valemid

\begin{aligned}φ(t) & = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}f(x)dx \\ f(t) & = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx}φ(t)dt. \end{aligned}

Näiteid karakteristlikest funktsioonidest

1) Aatom: P = δ_{a}, a ∈ ℜ.

φ(t) = e^{ita}.

Erijuht a = 0, φ(t) = 1.

2) Sümmeetriline Bernoulli: P = \frac{1}{2}(δ_{1} + δ_{−1}).

φ(t) = e^{it} \frac{1}{2} + e^{−it} \frac{1}{2} = \frac{e^{it} + e^{−it}}{2} = cos t.

3) Bernoulli B(1, p): P = qδ_{0} + pδ_{1}.

φ(t) = e^{it0}q + e^{it}p = q + pe^{it}.

4) Binoomjaotus B(n, p): P = ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k}q^{n−k}p^{k}δ_{k}. Binoomjaotusega juhuslik suurus on n sõltumatu Bernoulli jaotusega juhusliku suuruse summa. Seega

φ(t) = Π_{k=0}^{n}(q + pe^{it}) = (q + pe^{it})^{n}.

5) Poissoni jaotus P o(λ): P = ∑_{n=0}^{∞} e^{−λ} \frac{λ^{n}}{n!} δ_{n}.

φ(t) = e^{−λ} ∑_{n=0}^{∞} e^{itn} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{−λ} ∑_{n=0}^{∞} \frac{[e^{it}λ]^{n}}{n!} = e^{−λ} exp[e^{it}λ] = e^{λ[e^{it}−1]}.

Paneme tähele, et formaalselt saame Poissoni jaotuse karakteristliku funktsiooni, kui asendame tema momente genereeriva funktsioonis argumendi t argumendiga it. See EI OLE tõestus, sest imaginaarühikut ei saa käsitleda kui reaalarvu. Ülaltoodud tõestuses kasutasime kompleksmuutuja funktsiooni definitsiooni.

6) Ühtlane jaotus U(0, 1): tihedus f(x) = 1, x ∈ [0, 1]

φ(t) = ∫_{0}^{1} e^{itx}dx = ∫_{0}^{1} cos txdx + i ∫_{0}^{1} sin txdx = \frac{i sin t + cos t − 1}{it} = \frac{e^{it} − 1}{it}.

7) Eksponentjaotus E(1): tihedus f(x) = e^{−x}, x ∈ [0, ∞)

φ(t) = ∫_{0}^{∞} e^{itx}e^{−x}dx = ∫_{0}^{∞} cos(tx)e^{−x}dx + i ∫_{0}^{∞} sin(tx)e^{−x}dx.

Ositi integreerides saame

∫_{0}^{∞} cos(tx)e^{−x}dx = − cos(tx)e^{−x}|_{0}^{∞} − t ∫_{0}^{∞} sin(tx)e^{−x}dx = 1 − t ∫_{0}^{∞} sin(tx)e^{−x}dx

∫_{0}^{∞} sin(tx)e^{−x}dx = − sin(tx)e^{−x}|_{0}^{∞} + t ∫_{0}^{∞} cos(tx)e^{−x}dx = t ∫_{0}^{∞} cos(tx)e^{−x}dx.

Lahendades selle võrrandisüsteemi, saame

∫_{0}^{∞} cos(tx)e^{−x}dx = \frac{1}{1 + t^{2}} , ∫_{0}^{∞} sin(tx)e^{−x}dx = \frac{t}{1 + t^{2}} ,

millest

φ(t) = \frac{1 + it}{1 + t^{2}} = \frac{1}{1 − it}.

Paneme tähele, et formaalselt saame eksponentjaotuse karakteristliku funktsiooni, kui asendame tema momente genereeriva funktsioonis argumendi t argumendiga it. See EI OLE tõestus.

8) Kahepoolne eksponentjaotus: tihedus f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}, x ∈ ℜ. Olgu φ_{e} ühepoolse eksponentjaotuse karakteristlik funktsioon.

\begin{aligned}φ(t) & = \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}e^{−|x|}dx = \frac{1}{2}[∫_{−∞}^{0} e^{itx}e^{−x}dx + ∫_{0}^{∞} e^{itx}e^{x}dx] \\ & = \frac{1}{2}(φ_{e}(−1) + φ_{e}(1)) = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 − it} + \frac{1}{1 + it}) = \frac{1}{1 + t^{2}} . \end{aligned}

9) Cauchy jaotus: tihedus f(x) = \frac{1}{π} \frac{1}{1+x^{2}} , x ∈ ℜ. Kahepoolse eksponentjaotuse karakteristlik funktsioon on integreeruv. Seega kehtib (8), millest

e^{−|x|} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−itx} \frac{dt}{1 + t^{2}} .  (9)

On selge, et iga x ∈ ℜ korral ∫_{−∞}^{∞} sin tx(1 + t^{2})^{−1}dt = 0, millest

∫_{−∞}^{∞} e^{−itx} \frac{dt}{1 + t^{2}} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos tx}{1 + t^{2}} dt = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx} \frac{dt}{1 + t^{2}} .

Kasutades seost (9), saame

φ(t) = e^{−|t|}.

10) Normaaljaotus N(μ, σ^{2}): Tihedus f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} e^{\frac{(x−μ)^{2}}{σ^{2}}} , x ∈ ℜ. Tõestuseta märgime, et standardse normaaljaotuse N(0, 1) karakteristlik funktsioon φ_{o} avaldub

φ_{o}(t) = e^{\frac{−t^{2}}{2}} .

(vaata, näiteks, Billingsley 26; Ŝirjajev II 12). Karakteristlikku funktsioonide omaduse 5) põhjal saame üldise normaaljaotuse karakteristlikuks funktsiooniks

φ(t) = e^{itμ}φ_{o}(σt) = e^{itμ}e^{\frac{−t^{2}σ^{2}}{2}} = e^{itμ− \frac{t^{2}σ^{2}}{2}} .

Koondumisteoreem

Olgu P_{n} ja P tõenäosusmõõdud, φ_{n} ja φ vastavad karakteristlikud funktsioonid, n = 1, 2, . . .. Selgub, et P_{n} ⇒ P parajasti siis, kui φ_{n}(t) → φ(t), ∀t ∈ ℜ ehk tõenäosusmõõtude nõrk koondumine on ekvivalentne nende karakteristlike funktsioonide punktiviisilise koondumisega. Tõestus põhineb abilemmal (vt Ŝirjajev III, 3) .

Lemma 13.2. Olgu P ruumil (ℜ, B) antud tõenäosusmõõt, φ olgu tema karakteristlik funktsioon. Siis iga K < ∞ korral

P [−2K, 2K] ≥ K| ∫_{−K^{−1}}^{K^{−1}} φ(t)dt| − 1.

Lemma 13.1 abil tõestame põhiteoreemi.

Teoreem 13.2 (Levy’, Cramer). Olgu P_{n} ja P ruumil (ℜ, B) antud tõenäosusmõõdud, φ_{n}, φ vastavad karakteristlikud funktsioonid. Siis P_{n} ⇒ P parajasti siis, kui iga t ∈ ℜ korral φ_{n}(t) → φ(t).

Tõestus. ⇒: Oletame, et P_{n} ⇒ P. Olgu t ∈ ℜ suvaline. Funktsioonid sin ja cos on pidevad ja tõkestatud, mistõttu vastavalt teoreemile 11.2

∫ cos txP_{n}(dx) → ∫ cos txP (dx), ∫ sin txP_{n}(dx) → ∫ sin txP (dx).

Seega φ_{n}(t) → φ(t).

⇐: Oletame, et φ_{n}(t) → φ(t), ∀t ∈ ℜ. Iga h > 0 korral

|\frac{1}{2h} ∫_{h}^{−h} φ_{n}(t)dt| ≥ |\frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} φ_{n}(t)dt| − \frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} |φ_{n}(t) − φ(t)|dt.  (10)

1) Tõestame, et

lim_{h→0} |\frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} φ(t)dt| = 1.  (11)

Karakteristlike funktsioonide omadustest teame, et φ on pidev ja φ(0) = 1, millest ∀δ > 0 korral ∃h > 0 nii, et |1 − φ(t)| ≤ δ, kui t ∈ (−h, h). Iga sellise h korral aga

|1−|\frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} φ(t)dt|| ≤ |1−\frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} φ(t)dt| = |\frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h}(1−φ(t))dt| ≤ \frac{1}{2h} ∫_{−h}^{h} |1−φ(t)|dt ≤ δ.

2) Näitame, et iga h > 0 korral

∫_{−h}^{h} |φ_{n}(t) − φ(t)|dt → 0, kui n → ∞.  (12)

Et φ_{n}(t) → φ(t), siis iga fikseeritud h korral (12) järeldub domineeritud koondumise teoreemist (|φ_{n}(t) − φ(t)| ≤ 2).

3) Näitame, et jada {P_{n}} on tihe. Olgu ϵ > 0 suvaline. Valime h(ϵ) nii väikese, et integraal (11) oleks suurem kui 1− \frac{ϵ}{2}. Selle h korral valime n_{o}(h) nii suure, et integraal (12) oleks väiksem kui \frac{ϵ}{2}. Seega võrratuse (10) parem pool pole suurem kui 1 − ϵ. Lemmast 13.1 saame iga n > n_{o} korral

P_{n}[−2h^{−1}, 2h^{−1}] ≥ 2(1 − ϵ) − 1 = 1 − 2ϵ.  (13)

Iga tõenäosusmõõt (omaette võetuna) on tihe. Sellest järeldub, et iga lõplik hulk tõenäosusmõõte on tihe (miks?). Seega, vähendades h-d kui vaja, saame, et võrratus (13) kehtib iga n korral. Et ϵ oli suvaline, järeldub sellest jada {P_{n}} tihedus.

4) Näitame, et P_{n} ⇒ P. Vastavalt järeldusele 11.1 piisab kui näitame, et jada {P_{n}} iga nõrgalt koonduva alamjada piirväärtus on P. Olgu P_{n_{k}} ⇒ Q suvaline nõrgalt koonduv alamjada, ϕ olgu mõõdu Q karakteristlik funktsioon. Seega φ_{n_{k}}(t) → ϕ(t) forall t ∈ ℜ, millest ϕ = φ. Järelduse 13.1 põhjal P = Q.

Teoreemis 13.2 eeldasime, et karakteristlike funktsioonide jada (punktiviisiline) piirväärtus on mingi mõõdu P karakteristlik funktsioon. Järgnevas järelduses näeme, et see eeldus on täidetud, kui karakteristlike funktsioonide jada (punktiviisiline) piirväärtus on pidev punktis 0.

Järeldus 13.5. Olgu P_{n} ruumil (ℜ, B) antud tõenäosusmõõdud, φ_{n} vastavad karakteristlikud funktsioonid. Oleteme, et iga t ∈ ℜ korral kehtib koondumine φ_{n}(t) → g(t), kus piirfunktsioon g on pidev punktis 0. Siis leidub tõenäosusmõõt P nii, et P_{n} ⇒ P ja g on P karakteristlik funktsioon.

Tõestus. Vaatame veel kord piisavuse tõestust teoreemis 13.2. Omaduse {P_{n}} tiheduse tõestamisel kasutasime seosed (11) ja (12). Omaduse (12) tõestamisel kasutasime vaid punktiviisilist koondumist; see tõestus kehtib ka käesoleval juhul. Seose (11) tõestamisel kasutasime vaid asjaolu, et φ on pidev punktis 0. Seega seose (11) tõestus kehtib ka vaadeldaval juhul. Järelikult ka praegusel juhul on {P_{n}} tihe, mistõttu tal on nõrgalt koonduv alamjada P_{n_{k}} ⇒ P, millest teoreemi 13.2 tõttu φ_{n_{k}}(t) → φ(t) ∀t ∈ ℜ, kus φ on P karakteristlik funktsioon. Seega φ = g ja g on P karakteristlik funktsioon.

Järelduse 13.1 tõestusest nägime, et omadus – g on pidev punktis 0 – oli vajalik vaid jada {P_{n}} tiheduse tõestamiseks. Seega kehtib järeldus.

Järeldus 13.6. Olgu P_{n} ruumil (ℜ, B) antud tõenäosusmõõdud, φ_{n} vastavad karakteristlikud funktsioonid. Oletame, et iga t ∈ ℜ korral kehtib koondumine φ_{n}(t) → g(t). Kui {P_{n}} on tihe, siis leidub tõenäosusmõõt P nii, et P_{n} ⇒ P ja g on P karakteristlik funktsioon.

Tsentraalne piirteoreem

Karakteristlikud funktsioonid on väga kasulikud mitmesuguste piirteoreemide tõestamisel, eelkõige kasutatakse neid jaotuste nõrga koondumise tõestamisel. Järgnevas näeme, kuidas karakteristlike funktsioonide abil on võimalik lihtsalt tõestade üks matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria keskne tulemus – tsentraalne piirteoreem.

Märgime, et ka kompleksarvude korral kehtib järgmine elementaarne tulemus: kui x_{n} → x on koonduv kompleksarvude jada, siis

lim_{n}(1 − \frac{x_{n}}{n} )^{n} = e^{x}.

Kui X_{1} ∼ P_{1}, X_{2} ∼ P_{2}, … on juhuslike suuruste jada ja P mingi reaalteljel defineeritud tõenäosusmõõt, siis kirjaviis X_{n} ⇒ P tähendab, et P_{n} ⇒ P.

Teoreem 13.3 (tsentraalne piirteoreem). Olgu X_{1}, X_{2}, … iid juhuslikud suurused, S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i}. Kui σ^{2} = D(X_{n}) < ∞, siis

\frac{S_{n} − nμ}{σ\sqrt{n}} ⇒ N(0, 1),

kus μ = EX_{n}.

Tõestus. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et μ = 0 (vastasel juhul vaatleme iid juhuslikke suurusi X_{n} − μ).

Olgu X_{n} ∼ P; φ olgu P karakteristlik funktsioon. Leiame juhusliku suuruse \frac{S_{n}}{σ\sqrt{n}} karakteristliku funktsiooni. Karakteristlike funktsioonide omaduse 5) põhjal ∀i korral

φ_{\frac{X_{i}}{σ\sqrt{n}}} (t) = φ(\frac{t}{σ\sqrt{n}}),

millest sõltumatuse ja valemi (5) tõttu saame ∀t ∈ ℜ korral

φ_{\frac{Sn}{σ\sqrt{n}}} (t) = [φ(\frac{t}{σ\sqrt{n}})]^{n} = [1 + \frac{σ^{2}}{2} (\frac{it}{σ\sqrt{n}})^{2} + o(\frac{t^{2}}{σ^{2}n})]^{n} = [1 − \frac{t^{2}}{2n} + o(\frac{1}{n})]^{n}.

Seega protsessis n → ∞ iga t ∈ ℜ korral

φ_{\frac{Sn}{σ\sqrt{n}}} (t) → e^{− \frac{t^{2}}{2}} .

Et e^{− \frac{t^{2}}{2}} on jaotuse N(0, 1) karakteristlik funktsioon, siis teoreemi 13.2 tõttu

\frac{S_{n}}{σ\sqrt{n}} ⇒ N(0, 1).

Kirjandus. Karakteristlikest funktsioonidest loe: Billingsley 26; Ŝirjajev, II 12, III 3; Williams 16. Tsentraalsetest piirteoreemidest loe: Billingsley 27; Ŝirjajev, III 4,5; Williams 18.